<T->
          Coleo A conquista da 
          Matemtica
          Edio renovada MATEMTICA
          7 ano   

          Jos Ruy Giovanni Jr.
          Benedicto Castrucci

          Impresso Braille em 
          8 partes na diagramao de 
          28 linhas por 34 caracteres, 
          da 1 edio, So Paulo, 
          2009, Editora FTD

          Quarta Parte

          Ministrio da Educao 
          Instituto Benjamin Constant
          Diviso de Imprensa Braille
          Av. Pasteur, 350-368 -- Urca
          22290-240 Rio de Janeiro
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          Tel.: (21) 3478-4400
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          ~,http:www.ibc.gov.br~,
          -- 2011 --
<p>
          Coleo A conquista da 
          Matemtica
          Copyright (C) Jos Ruy 
          Giovanni Jnior e Benedicto Castrucci, 2009 
         
          Gerente editorial
          Silmara Sapiense Vespasiano
          Editora
          Rosa Maria Mangueira
          Coordenador de produo editorial
          Caio Leandro Rios
          Pesquisadoras
          Andr Bolanho e 
          Daniel Cymbalista 

          Todos os direitos reservados 
          EDITORA FTD S.A.
          Matriz: Rua Rui Barbosa, 156 -- Bela Vista -- 
          So Paulo -- SP
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          Tel.: (11) 3598-6000
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          E-mail: ~,exatas@ftd.com.br~,
<p>
                                I
 Sumrio

 Quarta Parte

 Unidade 4

 28 -- Equaes do 1 grau 
  com uma incgnita :::::::: 395
 Conhecendo as equaes do 
  1 grau com uma 
  incgnita :::::::::::::::: 398 
 Resolvendo equaes do 1 
  grau com uma incgnita ::: 400
 29 -- Usando equaes na 
  resoluo de problemas ::: 427
 30 -- Aplicao das 
  equaes: as frmulas 
  matemticas :::::::::::::: 447
 Retomando o que 
  aprendeu ::::::::::::::::: 454
 31 -- Equao do 1 grau 
  com duas incgnitas :::::: 461
 Soluo de uma equao do 
  1 grau com duas 
  incgnitas ::::::::::::::: 463
<p>
 32 -- Sistemas de duas 
  equaes do 1 grau com 
  duas incgnitas :::::::::: 475
 Formando um sistema de 
  equaes com duas 
  incgnitas ::::::::::::::: 478 
 Como determinar a soluo 
  de um sistema de duas 
  equaes do 1 grau com 
  duas incgnitas :::::::::: 480
 Tratando a informao 
  Trabalhando com dados de 
  uma pesquisa ::::::::::::: 496
 Retomando o que 
  aprendeu ::::::::::::::::: 501

 Unidade 5

 Estudando as 
  Inequaes :::::::::::::: 509
 33 -- Desigualdade ::::::: 513
 Propriedade das 
  desigualdades :::::::::::: 515 
 Princpios de 
  equivalncia ::::::::::::: 516
 34 -- Inequao :::::::::: 522

<132>
<ta c. mat. 7 ano>
<T+395>
<R+>
 28 -- Equaes do 1 grau com uma incgnita

 wr Histria

 Notcias antigas do uso das 
  equaes
<R->

  A primeira referncia a equaes de que se tem notcia consta no papiro de Rhind,
um dos documentos egpcios mais antigos que tratam da Matemtica.

<R+>
 _`[{foto: "Fragmento do papiro de Rhind."_`]
 Legenda: O papiro  um
dos mais antigos
antecessores do
papel, feito a partir
da planta do mesmo
nome. H notcias
de que os egpcios
desenvolveram a
tcnica do papiro em
cerca de 2200 a.C.
<R->

  Os egpcios no utilizavam a notao algbrica atual, e os m-
<p>
todos de soluo de
uma equao eram complexos e cansativos.

<133>
 Os gregos resolviam equaes 
  usando a Geometria

  Na obra *Os elementos*, de Euclides, encontramos solues geomtricas de equaes
do 2 grau. Mas esse estudo veremos no volume de 9 ano desta coleo.

<R+>
 _`[{ilustrao: "Euclides, em detalhe do
afresco A Escola de Atenas,
pintado por Rafael."_`]
 Legenda: Euclides viveu por
volta de 300 a.C. e
um de seus grandes
feitos foi escrever
os 13 volumes de
*Os elementos*.
Esse trabalho
descreve toda a
Aritmtica, a lgebra
e a Geometria
conhecidas at ento
no mundo grego.
<R->

<p>
 O avano rabe 

  Foram os rabes que, cultivando a Matemtica dos
gregos, promoveram um acentuado progresso na resoluo
de equaes. No estudo dos rabes, destaca-se o
trabalho de al-Khowarizmi (sculo IX), que resolveu e
discutiu equaes de vrios tipos.

<R+>
 _`[Ilustrao: "Selo com a imagem de al-Khowarizmi."_`]
 Legenda: Al-Khowarizmi  considerado o matemtico rabe de maior expresso do sculo IX. Ele
escreveu *Sobre a arte hindu de calcular*, em que faz uma exposio completa dos numerais hindus.
Seu livro *Al-jabr Wa'l muqabalah* contm uma exposio clara e sistemtica sobre resoluo de
equaes. Por esse motivo, al-Khowarizmi  chamado "pai da lgebra".
<R->

 As equaes nos dias de hoje

  Atualmente as equaes so usadas, entre outras coisas, para determinar o lucro de
uma firma, para calcular a taxa de uma aplicao financeira, para fazer a previso do
tempo etc.

<R+>
 _`[{foto: "Operadores durante prego na Bolsa de Mercadorias & Futuros (BM&F). So 
  Paulo, 2004."_`]

<134>
 Conhecendo as equaes do 1 grau Com uma incgnita
<R->

  Toda equao que, reduzida  sua forma mais simples, assume a forma ax=b,
em que x representa a incgnita, e *a* e *b* so nmeros racionais, com a=0,
 denominada equao do 1 grau com uma incgnita.

  Os nmeros *a* e *b* so denominados coeficientes da equao. Exemplos:
<L>
<R+>
 o x=6 -- equao do 1 grau na incgnita x
 o 3x=12 -- equao do 1 grau na incgnita x
 o -2y=10 -- equao do 1 grau na incgnita y
 o 3t=-5 -- equao do 1 grau na incgnita t
<R->

  Entretanto, existem outras equaes do 1 grau com uma incgnita que no so escritas
na forma ax=b. Exemplos:

<R+>
 o 2x+5=x-4 -- equao do 1 grau na incgnita x
 o y+23y=5 -- equao do 1 grau na incgnita y
 o 3`(x-1`)=6 -- equao do 1 grau na incgnita x
 o t2+?t-1*3=1 -- equao do 1 grau na incgnita t
<R->
 
  Fazendo transformaes, essas equaes podem ser reduzidas  forma mais simples
de uma equao do 1 grau com uma incgnita. Essas transformaes so baseadas na
aplicao dos princpios de equivalncia das igualdades.

<R+>
 Resolvendo equaes do 1 grau com uma incgnita
<R->

  Consideremos a equao x2+3=2`(x-1`), cuja incgnita  representada pela letra x,
sendo x um nmero racional desconhecido `(U=_q`).
  Essa equao estabelece, em uma linguagem matemtica, que, para um certo nmero
racional x, as expresses x2+3 e 2`(x-1`) representam o mesmo nmero.

  Como descobrir esse nmero x?
  A resposta para essa pergunta ser dada neste captulo.

  Lembre-se:

  Resolver uma equao do 1 grau com uma incgnita, dentro de um conjunto universo,
significa 
<p>
determinar a soluo ou raiz dessa equao, caso exista.

<135>
  Veremos o procedimento para resolver equaes do 1 grau com uma incgnita, observando
os exemplos a seguir.

<R+>
 1- Resolver a equao 5x+1=36, sendo U=_q.
 o Aplicando o princpio aditivo, adicionamos `(-1`) aos dois membros da equao,
isolando o termo que contm a incgnita x no 1 membro:

 5x+1=36
 5x+1+`(-1`)=36+`(-1`)
 5x+1-1=36-1
 5x+0=36-1
 5x=35
 
 o Aplicando o princpio multiplicativo, multiplicamos os dois membros da equao
por 15, descobrindo, assim, o valor do nmero x.

 5x`(15`)=35`(15`)
 x=7

 Como 7,_q, temos S=~l7_,.

 De forma prtica: 

 5x+1=36
 5x=36-1
 5x=35
 x=355
 x=7

 5x=36-1 -- aplicamos o princpio aditivo
 x=355 -- aplicamos o princpio multiplicativo

 Como 7,_q, temos S=~l7_,.
 
 2- Resolver a equao 7x=4x+5, sendo U=_q.
 o Aplicando o princpio aditivo, adicionamos `(-4x`) aos dois membros da equao,
isolando no 1 membro apenas os termos que contm x:

 7x=4x+5
 7x+`(-4x`)=4x+5+`(-4x`)
 7x-4x=4x+5-4x
 7x-4x=0+5
 3x=5

 o Aplicando o princpio multiplicativo, multiplicamos os dois membros da equao
por 13, descobrindo, assim, o valor da incgnita x.

 3x`(13`)=5`(13`)
 X=53

 Como 53,_q, temos S~l53_,

<136>
 De forma prtica:
 
 7x=4x+5
 7x-4x=5
 3x=5
 x=53

<p>
 7x-4x=5 -- pelo princpio aditivo
 x=53 -- pelo princpio multiplicativo

 Como 53 ,_q, temos S=~l53_,.

 3- Resolver a equao 9x-7=5x+13, sendo que U=_q.

 Devemos isolar no primeiro membro todos os termos da equao que apresentam a
incgnita x e, no 2 membro, os termos que no apresentam a incgnita.
 o Inicialmente, adicionamos `(+7`) aos dois membros da equao, de modo que
todos os termos que no apresentam a incgnita x fiquem no 2 membro da
equao:

 9x-7+`(+7`)=5x+13+`(+7`)
 9x-7+7=5x+13+7
 9x=5x+20

<p>
 o Vamos, agora, adicionar `(-5x`) aos dois membros da equao, isolando no
1 membro todos os termos que apresentam a incgnita x:

 9x+`(-5x`)=5x+20+`(-5x`)
 9x-5x=5x+20-5x
 4x=20

 o Finalmente, multiplicamos os dois membros da equao por
14 para determinar o valor da incgnita x:

 4x=20
 4x`(14`)=20`(14`)
 x=5

 Como 5,q, temos S=~l5_,.

 De forma prtica:

<p>
 9x-7=5x+13
 9x=5x+13+7 
 9x=5x+20
 9x-5x=20
 4x=20
 x=204
 x=5

 9x=5x+13+7 -- pelo princpio aditivo 
 9x-5x=20 -- pelo princpio aditivo
 x=204 -- pelo princpio multiplicativo

 Como 5,_q, temos S=~l5_,
<R->

<137>
  Agora preste ateno ao que Cludia est falando:

 _`[{cludia fala_`]
  "Multipliquei
um nmero por 6
e obtive o dobro
desse nmero
aumentado
de 180.
  Qual  esse
nmero?"

  Se representarmos o nmero procurado pela letra x, podemos montar a seguinte equao,
de acordo com o que Cludia apresentou:

 6x=2x+180
 6x-2x=180 
 4x=180
 x=1804
 x=45

<R+>
 6x-2x=180 -- pelo princpio aditivo
 x=1804 -- pelo princpio multiplicativo
<R->

 Logo, o nmero procurado  45.

 Exerccios

<R+>
 1. Vamos resolver as seguintes equaes do
1 grau com uma incgnita, sendo U=_q:
 a) 2x-8=8 
 b) 3x+1=19 
 c) 7y-4=10 
 d) 2t+1=-8 
 e) 11-3y=2
 f) 3x=-7+x
 g) 9x+5=4x
 h) 20=26x+32

 2. Determine a raiz ou soluo de cada uma
das seguintes equaes do 1 grau com uma incgnita,
sendo U=_q:
 a) 7x+1-5x=9 
 b) y+9y+5=-15 
 c) 17x-1=15x+3 
 d) 16-x=x+25 
 e) 20x-13=20+9x
 f) 21x+1=11x+6
 g) 9x-23=13x-27
 h) 0,8+2x=x+3,5

 3. So dadas as equaes 10y+4=16y-8 e
9x-4=6x+8. Pede-se:
 a) o valor do nmero y.
 b) o valor do nmero x.
 c) o produto de y por x.
 d) o quociente de y por x.

 4. Resolvendo as equaes 2x-6=10,
3x-5=4 e 5x-7=8, no conjunto _q, verificamos
que duas delas so equivalentes. Quais
so essas duas equaes?
 5. Ao triplo de um nmero adicionamos 90. O
resultado  igual ao quntuplo do mesmo nmero.
Qual  esse nmero?
<R->

<138>
  Resolvendo mais uma equao do 1 grau:

 2`(2x-1`)-6`(1-2x`)=2
  `(4x-5`), sendo U=_q.

  Inicialmente, aplicamos a propriedade distributiva da multiplicao para eliminar os
parnteses:

 2`(2x-1`)-6`(1-2x`)=2
  `(4x-5`)
 4x-2-6+12x=8x-10
 4x+12x-2-6=8x-10
 +16x-8=8x-10

<R+>
 o Aplicando o princpio aditivo, adicionamos `(+8`) aos dois membros da equao
para isolar no 2 membro todos os termos que no apresentam a incgnita x:

 16x-8+`(+8`)=8x-10+`(+8`)
 16x-8+8=8x-10+8
 16x=8x-2

 o Aplicando, novamente, o princpio aditivo, adicionamos `(-8x`) aos dois membros da
equao para isolar no 1 membro todos os termos que apresentam a incgnita x:

 16x=8x-2
 16x+`(-8x`)=8x-2+`(-8x`)
 16x-8x=8x-2-8x
 8x=-2

 o Aplicando o princpio multiplicativo, multiplicamos os dois termos da equao por
18 para determinar o valor da incgnita x:

 8x`(18`)=-2`(18`)
 x=-14
<R->

  Como -14,_q, temos S=~l-14_,.

  De forma prtica:

<R+>
 2`(2x-1`)-6`(1-2x`)=
  =2`(4x-5`)
 4x-2-6+12x=8x-10
 4x+12x-2-6=8x-10
 16x-8=8x-10
 16x=8x-10+8
 16x=8x-2
 16x-8x=-2
 8x=-2
 x=-28=-14

 4x-2-6+12x=8x-10 -- pela propriedade distributiva
 16x=8x-10+8 -- pelo princpio aditivo
 16x-8x=-2 -- pelo princpio aditivo
 x=-28=-14 -- pelo princpio multiplicativo
<R->

  Como -14,_q, temos S=~l-14_,. 
 
<139>
 Exerccios

<R+>
 1. Sendo U=_q, determine a raiz ou soluo
das equaes:
 a) 3-`(3x-6`)=2x+`(4-x`)
 b) 4`(x-2`)=4+2`(x-1`)
 c) 7x-3`(x-2`)=3`(x+4`)
 d) 2`(y-2`)+5`(2-y`)=
  =-3`(2y+2`)
 e) 2`(1-t`)+1=3`(t-3`)-2t
 f) 5`(m+1`)-3`(2m+1`)=
  =4`(5-m`)

 2. Dada a expresso x-2`(3-2x`), qual deve
ser o valor de x para que essa expresso seja
igual a zero?
 3. Um nmero decimal x  tal que
3`(1,4-x`)+5x=-`(x-4,8`).
Qual  o nmero x?
 4. Na equao `(m-3`)x+3x+
  +4`(m-5`)=0,
temos que x=2. Qual  o nmero que expressa
o valor da letra m?
 5. Considerando que as expresses 3`(1,2x-2,4`)
e 2`(1+1,5x`)+2,8 so iguais, determine x.
<R->
<L>
 _`[{o professor diz_`]
  "Acompanhe a resoluo de mais uma equao do 1 grau."

  Vamos resolver a equao
3x4-23=x-52, sendo U=q_.

<R+>
 o Inicialmente, devemos obter uma equao equivalente  equao
dada, apenas com coeficientes inteiros. Para isso, reduzimos
todos os termos da equao ao mesmo denominador e, em
seguida, aplicamos o princpio multiplicativo, multiplicando todos
os termos da equao pelo denominador comum:

 3x4-23=x-52
 9x12-812=12x12-3012
 12`(9x12`)-12`(812`)=
  =12`(12x12`)-12
  `(3012`)
 9x-8=12x-30

<p>
 o Aplicamos o princpio aditivo, adicionando `(+8`) aos dois membros da equao:

 9x-8=12x-30
 9x-8+`(+8`)=12x-30+`(+8`)
 9x-8+8=12x-30+8
 9x-0=12x-30+8
 9x=12x-22

 o Aplicamos novamente o princpio aditivo, adicionando `(-12x`) aos dois membros:

 9x=12x-22
 9x+`(-12x`)=12x-22+`(-12x`)
 9x-12x=12x-22-12x
 9x-12x=0-22
 -3x=-22
 3x=22

<140>
 o Aplicando o princpio multiplicativo, multiplicamos os dois membros da equao
por 13:

 3x`(13`)=22`(13`)
 x=223
<L>
 Como 223,_q, temos S=~l223_,.

 De forma prtica:

 3x4-23=x-52
 9x12-812=12x-3012
 9x-8=12x-30
 9x=12x-30+8
 9x=12x-22
 9x-12x=-22
 -3x=-22
 3x=22
 x=223

 9x12-812=12x-3012 -- reduzimos ao mesmo denominador
 9x-8=12x-30 -- cancelamos os denominadores
 9x=12x-30+8 -- aplicamos o princpio aditivo
 9x-12x=-22 -- aplicamos o princpio aditivo
 x=223 -- aplicamos o princpio multiplicativo

<p>
 Como 223,_q, temos S=~l223_,.

 Exerccios

 1. Dadas as seguintes equaes do 1 grau
com uma incgnita, determine a raiz ou soluo
de cada uma, sendo U=_q:
 a) x+x5=12 
 b) x-x7=-3 
 c) x5+x2=21 
 d) 5=57-3x
 e) 16-x2=-2x3+14
 f) 3y8-56=y3-52

 2. Sendo A=x2-25 e B=1-3x4, qual deve ser
o valor de x para que se tenha A=B?
 3. Sabe-se que os 35 de um nmero adicionados
a 12  igual aos 23 do mesmo nmero.
Qual  esse nmero?
 4. A soma da quarta parte com a sexta parte
de um nmero  o mesmo que a diferena entre o 
<p>
  nmero e 56. Qual  esse nmero?
 5. Um nmero decimal  tal que a soma desse
nmero com a sua quinta parte  igual ao
dobro do nmero menos 30. Qual  esse nmero
decimal?
 6. Realizou-se uma pesquisa que relaciona o
comprimento x do p de uma pessoa, em centmetros,
e o nmero N do calado. Obteve-se uma
frmula que d, em mdia, o nmero inteiro N
do calado em funo do comprimento x do p,
em centmetros. Essa frmula  N=54x+7.
Qual o comprimento x, em centmetros, do p
de uma pessoa que cala 38?
<R->

<141>
 _`[{o professor diz_`]
  "Vamos resolver mais uma equao do 1 grau?"

  Resolver a equao ?2x+5*3-
 -?4x-9*6=?3-4x*2, sendo U=_q.

<R+>
 o Inicialmente, reduzimos todos os termos ao mesmo denominador:

 ?2x+5*3-?4x-9*6=
  =?3-4x*2
 ?2`(2x+5`)6-?1`(4x-9`)6=
  =?3`(3-4x`)6

 o Multiplicando todos os termos por 6 (princpio multiplicativo),
obtemos uma equao equivalente e com coeficientes inteiros:

 ?2`(2x+5`)*6-?1`(4x-9`)*6=
  =?3`(3-4x`)*6
 6`[?2`(2x+5`)*6`]-6
  `[?1`(4x-9`)*6`]=6
  `[?3`(3-4x`)*6`]
 2`(2x+5`)-1`(4x-9`)=
  =3`(3-4x`)

 o Chegou a vez de eliminar os parnteses:
 
 4x+10-4x+9=9-12x
 19=9-12x

 o Adicionamos `(-19`) aos dois membros da equao (princpio aditivo):

 19+`(-19`)=9-12x+`(-19`)
 19-19=9-12x-19
 0=-10-12x

 o Adicionamos `(+12x`) aos dois membros da equao (princpio aditivo):

 0+`(+12x`)=-10-12x+`(+12x`)
 0+12x=-10-12x+12x
 0+12x=-10-0
 12x=-10

 o Multiplicamos os dois membros por 112 (princpio multiplicativo):

 `(12x`)`(112`)=-10`(112`)
 x=-56

 Como -56,_q, temos S=~l-56_,.
<R->

<142>
  De forma prtica:

<R+>
 ?2x+5*3-?4x-9*6=
  =?3-4x*2
 ?2`(2x+5`)*6-?1`(4x-9`)*6=
  =?3`(3-4x`)*6
 2`(2x+5`)-1`(4x-9`)=
  =3`(3-4x`)
 4x+10-4x+9=9-12x
 0+10+9=9-12x
 19=9-12x
 19+12x=9
 12x=9-19
 12x=-10
 x=-1012
 x=-56

 ?2`(2x+5`)*6-?1`(4x-9`)*6=
  =?3`(3-4x`)*6 -- reduzimos ao mesmo denominador
 2`(2x+5`)-1`(4x-9`)=
  =3`(3-4x`) -- cancelamos os denominadores
 4x+10-4x+9=9-12x -- aplicamos a propriedade distributiva
 19+12x=9 -- aplicamos o princpio aditivo
<p>
 12x=9-19 -- aplicamos o princpio aditivo
 x=-1012 -- aplicamos o princpio multiplicativo

 Como -56,_q, temos S=~l-56_,.

 Exerccios

 1. Resolva as equaes do 1 grau com uma
incgnita, no conjunto universo _q.
 a) x-4-?x+4*3=0
 b) ?x-8*2-4=x
 c) ?x-2*8=?x-4*3
 d) 4x3-32=?x-3*3
 e) ?3-x*8=?x+1*4-x3
 f) ?t-5*2-13=t3-
  -?3t+14*12

 2. A raiz da equao ?2`(x+1`)*3=2-x est
situada entre dois nmeros inteiros. Quais so
esses nmeros?
<p>
 3. Qual deve ser o valor racional de x para que
se tenha 23x+5`(2x-3`)=?3
  `(4x-1`)*2+11? 
 4. Na resoluo de um problema, Manoel
montou a seguinte equao, considerando a letra
*m* como a incgnita:

 3`(m-2`)-?7m-1*2=?m-4*3

 A soluo dessa equao  um nmero positivo
ou negativo?

 5. Dada a equao ?x-4*3-1=
  =?x-2*8, responda:
 a) Quais so os divisores naturais do nmero
que representa a soluo dessa equao?
 b) Qual  o valor numrico da expresso 0,1~1x
sendo x a raiz da equao dada?
 c) Qual  o nmero que representa o quadrado
da raiz dessa equao?
<R->

<143>
<p>
 Desafio!

  Troque ideias com um colega e resolva o desafio.
  Voc se lembra de Eva e Ivo, no incio desta Unidade? Use uma equao para descobrir as idades
deles.

  Eva e Ivo fazem aniversrio no mesmo dia.

 _`[Ivo diz_`] 
  "Eu tenho um nmero mpar de anos". 

 _`[Eva diz_`]
  "A minha idade tambm  um nmero mpar."

  Descubra as idades de Eva e Ivo. Veja as dicas:

 _`[{ivo diz_`]
  "Eu sou 6 anos mais velho que ela."

 _`[Eva diz_`]
  "A soma das nossas idades  40 anos."

 _`[{o professor diz_`]
  "Agora vamos considerar mais duas equaes. Acompanhe."
 
<R+>
 1- Resolver a equao 7x+6=7x+10, sendo U=_q.

 7x+6=7x+10
 7x+6-6=7x+10-6
 7x=7x+4
 7x-7x=7x+4-7x
 0x=4

 Como no existe nmero racional que multiplicado por
zero d resultado 4, dizemos que a equao  impossvel
e S=_j.

 2- Resolver a equao 5-2x=5-2x, sendo U=_q.

<p>
 5-2x=5-2x
 5-2x+`(-5`)=5-2x+`(-5`)
 5-2x-5=5-2x-5
 -2x=-2x
 -2x+2x=-2x+2x
 0x=0

 Como todo nmero racional verifica essa igualdade, dizemos que a equao  uma
identidade e S=_q.
<R->

<144>
 A arte de fazer e desfazer

  Que tal construir uma expresso numrica e depois desfaz-la?
  Para desfazer  fcil:  s usar as operaes inversas.
  Vamos ver como  isso!

 _`[{tabela adaptada_`]
 Construindo e desfazendo uma 
  expresso

<R+>
 Construindo a expresso 
 Comeo com o nmero 4. 
 Multiplico esse nmero por 3 -- 34 
 Subtraio 5 do produto -- `(34`)-5 
 Obtenho o nmero 7. 

 Desfazendo a expresso
 Comeo, agora, com o nmero 7.
 Adiciono 5 a esse nmero -- 7+5
 Divido a soma por 3 -- `(7+5`)3
 Obtenho o nmero 4.
<R->

  Vamos, agora, construir e resolver uma equao.

 _`[{tabela adaptada_`]
 Construindo e resolvendo uma 
  equao

<R+>
 Construindo a equao 
 Penso em um nmero x. 
 Multiplico esse nmero por 3 -- 3x 
 Subtraio 5 do resultado -- 3x-5 
 Obtenho 7 -- 3x-5=7
 Qual  o nmero x?
<L>
 Resolvendo a equao
 Comeo, agora, com o nmero 7.
 Adiciono 5 a esse nmero -- 7+5
 Divido a soma por 3 -- `(7+5`)3
 Obtenho o nmero 4.
 Logo, o nmero pensado  4.

               ::::::::::::::::::::::::

 29 -- Usando equaes na 
  resoluo de problemas

 1- Em uma classe, 20% dos alunos treinam capoeira. Sabendo-se que a classe ainda tem
24 alunos que treinam outros esportes, quantos alunos h, ao todo, nessa classe?

 1 passo: Ler com ateno o problema e levantar dados.
  O problema pede para encontrar um nmero que represente o total de alunos de
uma classe.
<p>
 2 passo: Traduzir o enunciado para a linguagem matemtica, usando letras e smbolos.
  Vamos indicar o nmero procurado pela letra *y* e escrever a equao correspondente,
usando a incgnita *y* onde for necessrio indicar o nmero desconhecido.
  Convm lembrar que:

 20%=#;}ajj
 2020=1
 10020=5
 20%=#;}ajj=#,e

 15y+24=y
 15y -- nmero de alunos que treinam capoeira
 24 -- nmero de alunos que treinam outros esportes
 y -- nmero total de alunos da turma

<145>
 3 passo: Resolver a equao estabelecida.
 Resolvendo a equao, temos:

 15y+24=y
 y5+1205=5y5
 y+120=5y
 y=5y-120
 y-5y=-120
 -4y=-120
 4y=120
 y=1204
 y=30

 4 passo: Analisar o resultado obtido e dar a resposta conveniente.
 Nessa classe h, ao todo, 30 alunos.

 2- Uma pesquisa, realizada com os alunos de uma classe da Escola Laranjeira, mostrou
que os 42 alunos dessa classe ou gostam de samba, ou gostam de msica
sertaneja, ou gostam de ambos. Quando a professora perguntou:
<R->

<p>
  -- Quem gosta de msica sertaneja?
  36 alunos levantaram a mo.
  E quando a professora perguntou:
  -- Quem gosta de samba?
  28 alunos levantaram a mo.
  
<R+>
 Nessa turma, quantos alunos gostam,
ao mesmo tempo, de msica
sertaneja e samba?

 Para resolver esse problema, podemos montar um diagrama.

 _`[{diagrama adaptado_`]
 !:::::::::::::::::::::::
 l azul  _ verde _ amarelo _
 r:::::::w:::::::w:::::::::w
 l 36-x _   x   _  28-x  _
 h:::::::j:::::::j:::::::::j

 1 passo: No diagrama, a parte em verde `(x`) representa o nmero de alunos que
gostam, ao mesmo tempo, dos dois tipos de msica.
  A parte em azul `(36-x`) representa o nmero de alunos que gostam de msica
sertaneja, mas no gostam de samba.
  A parte em amarelo `(28-x`) representa o nmero de alunos que gostam de samba,
mas no gostam de msica sertaneja.

<146>
 2 passo: A soma desses nmeros  o total de alunos da sala. Assim, montamos
a equao:

 `(36-x`)+x+`(28-x`)=42
 `(36-x`) -- gostam apenas de msica sertaneja
 x -- gostam dos dois tipos de msica
 `(28-x`) -- gostam apenas de samba
 42 -- total de alunos

 3 passo: Resolvendo a equao, temos:

<p>
 `(36-x`)+x+`(28-x`)=42
 36-x+x+28-x=42
 36-0+28-x=42
 -x+64=42
 -x=42-64
 -x=-22
 x=22

 4 passo: Nessa turma h 22 alunos que gostam, ao mesmo tempo, dos dois tipos
de msica.

 3- Uma tbua com 120 cm de comprimento deve ser cortada em duas partes. O comprimento
da parte maior  igual ao triplo do comprimento da menor. Determinar o comprimento
de cada uma das partes.

 1 passo: O problema nos pede para encontrar o comprimento de cada parte da
tbua, sendo um o triplo do outro. Vamos, ento, representar esses comprimentos
por x (da parte menor) e 3x (da parte maior).

 2 passo: Escrevendo a equao correspondente, temos:

 x+3x=120
 x -- comprimento da parte menor
 3x -- comprimento da parte maior
 120 -- comprimento da tbua

 3 passo: Resolvendo a equao, temos:

 x+3x=120
 4x=120
 x=1204=30

 30 cm -- comprimento da parte menor
 330=90; 90 cm -- comprimento da parte maior

 4 passo: Os comprimentos das partes da tbua so 30 cm e 
  90 cm.

<147>
 4- Em um estacionamento h carros e motos que, no total, somam 38 veculos e 136 rodas.
Quantas motos e quantos carros h nesse estacionamento?

 1 passo: O problema nos pede para encontrar dois nmeros. Vamos indicar por:
 o x o nmero de motos;
 o 38-x o nmero de carros.

 2 passo: Como cada moto tem 2 rodas, e cada carro tem 4 rodas, escrevemos a
equao:

 2x+4`(38-x`)=136
 2x -- nmero de rodas das motos
 4`(38-x`) -- nmero de rodas dos carros
 136 -- total de rodas

 3 passo: Resolvendo a equao, temos:

<p>
 2x+4`(38-x`)=136
 2x+152-4x=136
 -2x+152=136
 -2x=136-152
 -2x=-16
 2x=16
 x=162=8

 nmero de motos =8
 nmero de carros =38-x=38-8=30

 4 passo: No estacionamento, h 8 motos e 30 carros.

 5- Jnior e Lus jogam no mesmo time de futebol de areia. No ltimo campeonato, os dois
juntos marcaram 52 gols. Jnior marcou 10 gols a mais que Lus. Quantos gols Jnior
marcou nesse campeonato?

 1 passo: O problema nos pede para encontrar dois nmeros. Vamos indicar por:
 o x o nmero de gols que Lus marcou;
 o x+10 o nmero de gols que 
  Jnior marcou.

<148>
 2 passo: Como os dois juntos marcaram 52 gols, vamos escrever a equao:

 x+x+10=52
 x :> nmero de gols que Lus marcou
 x+10 :> nmero de gols que 
  Jnior marcou
 52 :> nmero de gols que os dois marcaram juntos

 3 passo: Resolvendo a equao, temos:

 x+x+10=52
 2x+10=52
 2x=52-10
 2x=42
 x=422=21

 Lus marcou: 21
 Jnior marcou: x+10=21+10=31

<p>
 4 passo: Jnior marcou 31 gols, e Lus marcou 21 gols.

 Exerccios
  
 1. Os mdicos do pronto-socorro de um hospital
atenderam 1.400 pessoas no primeiro semestre
de 2009. Em janeiro foram atendidas 180
pessoas e, em junho, 160 pessoas. O nmero de
pessoas atendidas nos outros meses do semestre
foi o mesmo em cada ms. Quantas pessoas
foram atendidas em cada um desses meses?
 2. Um reservatrio estava totalmente cheio
de gua. Inicialmente, esvaziou-se
13 da capacidade desse reservatrio e, a seguir, foram
retirados 400 litros de gua. O volume de gua
que restou no reservatrio corresponde a
35 da capacidade total do reservatrio. Quantos
litros de gua cabem nesse reservatrio?
 3. Uma empresa tem a matriz em So Paulo
e filiais em todo o Brasil, possuindo um total
de 1.365 funcionrios. O nmero de pessoas
que trabalham nas filiais  o qudruplo do
nmero de pessoas que trabalham na matriz.
Quantos funcionrios trabalham nas filiais
dessa empresa?
 4. Em uma eleio com dois candidatos, A e
B, uma pesquisa mostra que 40% dos eleitores
votaro no candidato A e 35%, no candidato B.
Se entre os pesquisados ainda h 3.500 indecisos, 
quantos eleitores participaram dessa pesquisa?
 5. Uma moa usava um colar de prolas, que
se rompeu. Um sexto das prolas caiu para a direita,
um quinto caiu para a esquerda, um tero
a moa conseguiu segurar com a mo direita,
um dcimo com a mo esquerda, e 6 prolas
continuaram presas no colar. Quantas prolas
tinha esse colar?
<R->

  Essa situao foi
adaptada de um
problema hindu
do sculo VII.

<149>
<R+>
 6. Quando colocou 46,2 litros de combustvel
no tanque de seu carro, Valdir observou que
o ponteiro do marcador, que antes indicava
15 da capacidade do tanque, passou a indicar
34. Qual  a capacidade total, em litros, do tanque
desse carro?
 7. Em uma pesquisa realizada com um grupo
de 70 turistas constatou-se que um nmero
x deles falava ingls e espanhol ao mesmo
tempo, 42 falavam ingls, 30 falavam apenas
espanhol, e 16 no falavam nem ingls nem espanhol.
Quantos turistas desse grupo falavam
ingls e espanhol ao mesmo tempo?
 8. Uma tbua tem 120 cm de comprimento e
deve ser dividida em duas partes de tal forma
que o comprimento da menor seja igual a 35 do 
comprimento da maior. 
<p>
  Qual ser, em metros,
o comprimento da menor parte?
 9. Em uma turma de 30 alunos, 6 escrevem
apenas com a mo esquerda (so canhotos), e 2
escrevem com as duas mos (so ambidestros).
Quantos alunos escrevem apenas com a mo
direita (so destros)?
 10. Uma aeronave voou no primeiro dia de
uma viagem 35 do percurso. No segundo dia,
voou 415 do percurso e, no terceiro dia, completou
a viagem, voando 800 km. De quantos quilmetros
foi o percurso total dessa viagem, e quantos
quilmetros a aeronave voou no primeiro dia?

 11. Um alvo  composto por duas regies, A
e B, conforme a figura.

<p>
 _`[{alvo adaptado_`]
<F->
!::::::::::
l  !::::  _
l  l A _  _
l  h::::j  _
lB        _
h::::::::::j
<F+>

 Nesse alvo, cada flecha certeira na regio B vale
a metade da flecha certeira na regio A.
 a) Caio jogou e acertou 5 flechas na regio A e 4
na regio B, perfazendo um total de 140 pontos.
Quantos pontos vale cada flecha certeira na regio
A?
 b) Lucca jogou e acertou 8 flechas na regio A
e 5 na regio B. Quantos pontos ele marcou a
mais que Caio?

 12. No incio de janeiro de 2010, Gustavo
montou uma pgina na internet com questes
de vestibulares. No final do ano, ele verificou
que houve 756 visitas a essa pgina. Supondo
que o nmero de visitas  pgina, durante o
ano, tenha dobrado a cada bimestre, quantas
visitas  pgina de Gustavo foram feitas no 1
bimestre de 2010?
 13. Foi feita uma pesquisa sobre a preferncia
na leitura de trs revistas. Veja o resultado
dessa pesquisa:
 o a tera parte dos entrevistados liam a revista A;
 o 25 dos entrevistados liam a revista B;
 o 832 pessoas liam a revista C.
 Sabendo que cada pessoa lia apenas uma das
revistas, quantas pessoas foram entrevistadas?
 14. Guilherme e Tiago compraram 200 figurinhas.
Dessas, 36 foram rasgadas e no puderam
ser aproveitadas. Das figurinhas restantes,
Guilherme ficou com 20 a mais que Tiago. Com
quantas figurinhas cada um ficou?
 15. A gua de um reservatrio  drenada por
dois encanamentos, ligados a diferentes bombas.
O volume de gua drenada pelo primeiro
encanamento  de 30 litros por minuto, e o volume
drenado pelo segundo  de x litros por minuto.
Em um perodo de 12 horas a quantidade
de gua drenada  de 72.000 litros. Qual  o valor
de x?
<R->

<150>
 Brasil Real 
 
 wr Educao e Cidadania

  A campanha Criana Esperana  um dos
projetos apoiados pela UNESCO e foi lanada
em 1986, em um programa de televiso
com 9 horas de durao.
  Em 23 anos de existncia, a campanha j
recebeu mais de 200 milhes de reais em
doaes, que foram investidos em mais de
5 mil projetos sociais brasileiros apoiados
por essa campanha.
  Em 2006, 73 mil telespectadores contriburam
para a campanha. As doaes eram
feitas por telefone, nos valores de 7 reais,
15 reais e 30 reais.

 A UNESCO
  (Organizao das
Naes Unidas para
a Educao, a Cincia
e a Cultura), criada
em 1945, tem como
principal diretriz dar
educao a todos. O
Brasil  membro dessa
instituio desde 1946.

 Fonte: ~,www.brasilia.unesco.~
  org~, Acesso em: 26 nov. 2008.

<R+>
 1. Suponha que em 2006, em um determinado
momento do programa, a situao era a
seguinte:
 o 200.000 ligaes para doao de 7 reais;
 o 100.000 ligaes para doao de 15 reais;
 o 4.400.000 reais arrecadados com todas as ligaes.

 Nesse momento, qual o nmero de ligaes
para doao de 30 reais?
 2. De acordo com o texto e supondo que esse
total arrecadado fosse dividido igualmente entre
os projetos sociais apoiados, quanto recebeu,
aproximadamente, cada projeto?
 3. Quanto seria arrecadado se os 73 mil telespectadores
fizessem 3 ligaes no valor de
30 reais cada uma?
 4. Que quantia seria arrecadada se todos
esses telespectadores fizessem 3 ligaes no
valor de 7, de 15 e de 30 reais cada uma?
<R->

 Desafios!

  Para resolver os desafios, troque ideias com o
colega.

<R+>
 1. (Enem) Um armazm recebe sacos de acar
de 24 kg para que sejam empacotados em
embalagens menores. O nico objeto disponvel
para pesagem  uma 
<p>
  balana de 2 pratos, sem os pesos metlicos.

 _`[{balana em equilbrio, com os pratos vazios_`]

 I -- Realizando uma nica pesagem,  possvel
montar pacotes de:
 a) 3 kg 
 b) 4 kg 
 c) 6 kg 
 d) 8 kg
 e) 12 kg

 II -- Realizando exatamente duas pesagens, os
pacotes que podem ser feitos so os de:
 a) 3 kg e 6 kg. 
 b) 3 kg, 6 kg e 12 kg. 
 c) 6 kg, 12 kg e 18 kg.
 d) 4 kg e 8 kg.
 e) 4 kg, 6 kg e 8 kg.

 2. A quinta parte de um enxame de abelhas
pousou numa flor da *Kadamba*, a tera parte
numa flor de *Silinda*. O triplo da diferena destes
dois nmeros,  bela com olhos de gazela,
voa sobre a flor da *Krutaja*. A abelha que sobra,
atrada pelo perfume dum jasmim e dum 
  *pandanus*,
paira desorientada no ar; diz-me, amada,
o nmero de abelhas.
<R->

  Esse foi um problema elaborado
por *Bhaskara*, um matemtico
hindu do sculo XII.

               ::::::::::::::::::::::::

<151>
<R+>
 30 -- Aplicao das equaes: as frmulas matemticas

 Explorando

 _`[{para as atividades de 1 a 3, pea orientao ao professor_`]

 1. Quantas vezes a unidade quadradinho "cabe" em cada figura a seguir? Mostre como voc fez para
calcular.

 _`[{figuras no adaptadas_`]

 2. Sabendo que cada quadradinho tem 1 cm de lado, expresse, em centmetros quadrados `(cm2`), a
rea de cada uma dessas figuras.

 3. Use suas prprias palavras para explicar como calcular a rea de:
 a) um quadrado. 
 b) um retngulo. 
 c) um tringulo.
<R->

  Vamos recordar:

  A rea de um retngulo  igual ao produto da medida da base pela medida da altura.

  Se indicarmos por A o nmero que representa a rea, por *b* o nmero que representa a
medida da base (ou o comprimento) e por *h* o nmero que representa a medida da altura (ou a
largura), essa regra poder ser abreviada e 
<p>
 escrita sob a forma de uma equao: A=bh.

<152>
  Vejamos alguns exemplos:
<R+>
 1- A rea de um terreno em forma de trapzio mede 50 m2. A medida da base menor  8 m,
e a medida da altura  5 m. Calcular a medida x da base maior desse terreno.

<F->
            8 m
        cccccccccp 
                 l 
            5 m l  
                 l   
    -------------v----u
            x
<F+>

 A rea do trapzio  dada por ?`(B+b`)h*2, em que B  a medida da base maior, *b* 
a medida da base menor, e *h*  a medida da altura.
 Usando a frmula, vamos escrever a equao do 1 grau com uma incgnita:
 
 A=?`(B+b`)h*2 :> 50=?`(x+8`)5*2

 Agora  s resolver a equao e obter o valor de x.
 ?`(x+8`)5*2=50
 ?5x+40*2=50
 ?5x+40*2=1002
 5x+40=100
 5x=100-40
 5x=60
 x=605
 x=12

 A base maior do terreno mede 
  12 m.

 2- O volume de uma piscina com a forma de um bloco retangular  de 120 m3. O comprimento
da piscina  8 m, e a largura  
  5 m. Vamos calcular a profundidade dessa piscina.
 O volume de um bloco retangular  dado por
abc, em que *a*  o comprimento, *b*  a largura,
e *c*  a altura ou profundidade.
  Usando a frmula, vamos escrever a equao do
1 grau com uma incgnita:

 abc=120
 85c=120
 40c=120
 c=12040 :> c=3

 A profundidade dessa piscina  de 3 m.

<153>
 Exerccios

 1. O permetro de um retngulo  60 cm. A
medida da base  igual ao dobro da medida da
altura. Calcule as dimenses desse retngulo.
<R->

  O permetro de um polgono
 a soma das medidas dos
lados desse polgono.

<R+>
 2. O permetro de um tringulo  27 cm. As
medidas dos lados desse tringulo so expressas
por trs nmeros inteiros e consecutivos.
Quais so as medidas dos lados desse tringulo?
 3. Considere ^p=3,14 e determine a medida
do raio de uma circunferncia de comprimento
igual a 314 cm.
<R->

  Ateno: Para indicar
o comprimento de uma
circunferncia, usamos
a frmula C=2^pr,
na qual C representa o
comprimento, e r representa
a medida do raio.

<R+>
 4. Um terreno tem a forma de um trapzio
com uma rea de 
  270 m2. A base maior desse
terreno mede 20 m e a altura, 15 m. Quanto
mede a base menor do terreno?
 5. Em um terreno retangular, a medida do
contorno  de 80 metros. A lateral mede o triplo
da frente do terreno. Se for colocada uma grade
de ferro na frente desse terreno, quantos metros
de grade sero necessrios?
<p>
 6. Se a rea de um terreno retangular  de
360 m2, e uma das suas dimenses  12 m, calcule
a outra dimenso.
 7. Na figura a seguir, as medidas esto expressas
em centmetros, e o seu permetro  igual a 36 cm. Qual  o valor de x?

<F->
                 3x
               pcccccc
               l      _
       3x     l 2   _
   !:::::::::::b      _
2 l                  _ 6
   l                  _ 
   h:::::::::::;      _ 
       3x     l 2   _ 
               l      _  
               v------#
                 3x
<F+>

<p>
 Retomando o que aprendeu

 1. A raiz da equao ?3x+5*2-?2x-9*3=8 ,
tambm, raiz da equao:
 a) 3x=-15 
 b) 3x=27 
 c) 3x=9
 d) 3x=15
 e) 3x=-9

 2. So dados trs nmeros naturais:
 2x; x; x+4.

 A soma desses trs nmeros  116. O produto
desses trs nmeros :
 a) 50.176 
 b) 50.166 
 c) 50.156
 d) 51.176
 e) 51.186

 3. O valor de x para que se tenha
3x-`(x+1`)=-x+1 :
 a) 13
 b) 23
 c) 3 
 d) 12
 e) 2

 4. O professor escreveu no quadro de giz
esta equao:

 2`(1-0,4x`)+x=4`(0,1x-0,4`)

 O valor de x, nessa equao,  igual a:
 a) 18 
 b) -18 
 c) 1,8
 d) -1,8
 e) 3,6

<154>
 5. Em uma excurso havia 4 nibus, e em
cada nibus estavam 35 alunos, acompanhados
por alguns professores. Se, ao todo, 150 pessoas
participaram dessa excurso, quantos professores
foram a esse passeio?
 a) 6 
 b) 7 
 c) 8 
 d) 9 
 e) 10

 6. Um tanque est completamente cheio de
gua. Deixando-se escoar 68 litros de gua, o
tanque fica ainda com a tera parte de sua
capacidade total. Qual  a capacidade desse
tanque?
 a) 100 litros. 
 b) 102 litros. 
 c) 104 litros.
 d) 106 litros.
 e) 108 litros.

 7. A mdia aritmtica dos nmeros expressos
a seguir  12,5.
 `(x-4`) 
 x 
 2x 
 2`(x+6`)

 Qual  o nmero x?
 a) 5 
 b) 6 
 c) 7 
 d) 8 
 e) 10
<L>
 8. Em um torneio de futebol, uma equipe venceu
35 dos jogos que disputou, empatou
13 dos jogos e perdeu apenas 2. Essas informaes
nos mostram que a equipe venceu:
 a) 30 jogos. 
 b) 24 jogos. 
 c) 20 jogos.
 d) 18 jogos.
 e) 10 jogos.

 9. Ansio pagou R$21,00 de estacionamento.
Quantas horas o carro dele ficou estacionado?

 _`[{placa adaptada_`]

 Estacionamento Dom Domnico
 1 hora -- R$6,00
 Hora adicional -- R$3,00

 a) 7 
 b) 6 
 c) 5 
 d) 4 
 e) 3

 10. A soma de um nmero com a sua tera
parte  igual ao dobro do nmero, diminudo de
25. Esse nmero :
 a) 37,5 
 b) 12,5 
 c) 18,75 
 d) 6,25
 e) 9,375

 11. O IBGE contratou entrevistadores para
realizar o recenseamento em uma cidade. Se
cada um deles visitasse 100 residncias, ainda
assim 60 residncias no seriam visitadas. Entretanto,
cada recenseador foi a 102 residncias
e, dessa forma, todas foram visitadas. Quantos
recenseadores foram contratados para realizar
o censo nessa cidade?
 a) 18 
 b) 20 
 c) 24 
 d) 27 
 e) 30

 12. Dada a equao
3x-2`(x-5`)-?5-3x*2=0, o valor de x :
 a) 15 
 b) -15 
 c) -3 
 d) 3 
 e) 10

 13. Um professor de Educao Fsica comprou
6 bolas de basquete e 10 bolas de voleibol, gastando
ao todo R$1.280,00. Cada bola de basquete
custou R$40,00 a mais que a bola de voleibol.
Com as bolas de basquete o professor gastou:
 a) R$630,00 
 b) R$650,00 
 c) R$640,00
 d) R$680,00
 e) R$720,00

 14. O pessoal do *Samba da Vila* quer distribuir
certo nmero de convites entre seus amigos.
Se derem 2 convites a cada amigo, sobraro 25
convites; se distriburem 3 convites a cada amigo,
faltaro 15 convites. Caso queiram distribuir
4 convites a cada amigo, o pessoal precisar de
mais:
 a) 45 convites. 
 b) 55 convites. 
 c) 40 convites.
 d) 70 convites.
 e) 80 convites.

<155>
 15. Em um programa de TV, um candidato
respondeu perguntas sobre msica popular.
Ao acertar a 1 pergunta, ganhou certa quantia.
Acertou a 2 e ganhou o dobro da quantia inicial;
acertou a 3 e ganhou o triplo da quantia inicial
e, finalmente, acertando a 4, ganhou o qudruplo
da quantia inicial. Se esse candidato recebeu
R$15.000,00, qual era o valor do prmio inicial?
 a) R$1.150,00 
 b) R$1.250,00 
 c) R$1.500,00
 d) R$1.650,00
 e) R$1.800,00

 16. Uma tbua com 5,85 metros de comprimento
foi dividida em trs partes. A primeira
delas tem 1,80 m de comprimento, enquanto a
segunda tem o dobro do comprimento da terceira.
Qual , em metros, o comprimento da segunda
parte da tbua?
 a) 1,35 m 
 b) 2,70 m 
 c) 2,80 m
 d) 3,20 m
 e) 4,05 m

               ::::::::::::::::::::::::

 31 -- Equao do 1 grau com duas incgnitas
<R->

  Uma dupla de tenistas disputa, em um torneio, 4 partidas.
  Na tabela, indicamos todas as possibilidades de vitrias e de derrotas dessa dupla
no torneio.

<R+>
 _`[{tabela "Possibilidades de vitrias e derrotas" adaptada em trs colunas; contedo a seguir_`]
 1 Coluna: Vitrias
 2 Coluna: Derrotas
 3 Coluna: Partidas disputadas

 !::::::::::::::::::::
 l 1 _ 2 _    3   _
 r:::::w:::::w::::::::::w
 l 4  _ 0  _ 4+0=4 _
 r:::::w:::::w::::::::::w
 l 3  _ 1  _ 3+1=4 _
 r:::::w:::::w::::::::::w
 l 2  _ 2  _ 2+2=4 _
 r:::::w:::::w::::::::::w
 l 1  _ 3  _ 1+3=4 _
 r:::::w:::::w::::::::::w
 l 0  _ 4  _ 0+4=4 _
 h:::::j:::::j::::::::::j
<R->

  Como representar, matematicamente, a frase "Uma dupla de tenistas disputa, em um
torneio, 4 partidas"?
  Primeiro vamos combinar que a letra x indica o possvel nmero de vitrias e a letra y, o
possvel nmero de derrotas. Ento, representamos matematicamente a frase, assim:

 x+y=4

  Essa sentena matemtica  chamada equao do 1 grau com duas incgnitas.
Veja alguns exemplos de equaes do 1 grau com duas incgnitas:
 o x+y=23 
 o x-y=19 
 o 3x+y=7 
 o 2x-3y=31

<156>
 Soluo de uma equao do 1 
  grau com duas incgnitas

  Considerando a equao 2x+5y=16, quais devem ser os valores dos nmeros x e y
para que a igualdade seja verdadeira?

<p>
  Observe:
<R+>
 o Se atribuirmos a *x* o valor 3 e a *y* o valor 2, teremos:
 2`(3`)+5`(2`)=16
 6+10=16 -- a igualdade  verdadeira

 o Considerando x=-2 e y=4, temos:
 2`(-2`)+5`(4`)=16
 -4+20=16 -- a igualdade  verdadeira

 o Considerando x=12 e y=3, temos:
 212+5`(3`)=16
 1+15=15 -- a igualdade  verdadeira

 o Considerando x=4 e y=1, temos:
 2`(4`)+5`(1`)=16
 8+5=16 -- a igualdade no  verdadeira, pois 8+5=16

<p>
 o Considerando x=-4 e y=25, temos:
 2`(-4`)+5`(25`)=16
 -8+2=16 -- a igualdade no  verdadeira, pois -8+2=16
<R->

  Pelo que foi visto acima, voc pde notar que existem vrios pares de nmeros que
tornam verdadeira a igualdade:
 o x=3 e y=2. 
 o x=-2 e y=4. 
 o x=12 e y=3.

  Esses pares de valores so algumas das solues da equao 2x+5y=16. Os outros
pares que foram testados no so solues da equao dada.
  Ento:

  Uma equao do 1 grau com duas incgnitas tem infinitas solues. Cada soluo da
equao  um par ordenado de nmeros.

<p>
  Em nosso estudo vamos convencionar que o primeiro nmero do par seja sempre o
valor de *x* e o segundo seja sempre o valor de *y*. Da o nome par ordenado.
  Indica-se: `(x, y`).

<157>
  Assim:
<R+>
 o O par de valores formado por x=3 e y=2  uma soluo da equao 2x+5y=16.
Essa soluo pode ser indicada por: (3, 2).
 o O par de valores formado por x=12 e y=3  outra soluo da equao 2x+5y=16.
  
 Essa soluo pode ser indicada por: `(12, 3`).
<R->

  As solues de uma equao do 1 grau com duas incgnitas podem ser encontradas
atribuindo-se valores para a incgnita x (ou para a incgnita y) e, em seguida, calculando-se
o valor da outra incgnita.
  Acompanhe os exemplos:
<L>
<R+>
 1- Determinar pelo menos trs pares ordenados que sejam soluo da equao 2x+y=3.
Vamos atribuir valores arbitrrios para x, calculando em seguida o valor de y:

 x=1
 2x+y=3
 2`(1`)+y=3
 2+y=3
 y=3-2
 y=1
 `(1, 1`)

 x=-4
 2x+y=3
 2`(-4`)+y=3
 -8+y=3
 y=3+8
 y=11
 `(-4, 11`)

<p>
 x=23
 2x+y=3
 2`(23`)+y=3
 43+y=3
 43+3y3=93
 4+3y=9
 3y=9-4
 3y=5
 y=53
 `(23, 53`)

 Logo, os pares `(1, 1`), `(-4, 11`) e `(23, 53`) so algumas das solues da equao 2x+y=3.

 2- Determinar uma soluo da equao 3x-7y=-12, na qual y=6.

 3x-7y=-12
 3x-7`(6`)=-12
 3x-42=-12

 3x=-12+42
 3x=30
 x=303=10

 Logo, o par `(10, 6`)  uma soluo da equao 3x-7y=-12.

<158>
 3- Sabe-se que 2x+3y=7. Se x=2m +1 e y=m-3, determinar o valor de *m*, de
x e de y.

 2x+3y=7
 2`(2m+1`)+3`(m-3`)=7
 4m+2+3m-9=7 
 7m-7=7
 7m=7+7
 7m=14
 m=147=2

 Vamos calcular o valor de x e o valor de y:

 x=2m+1=2`(2`)+1=4+1=5
 y=m-3=2-3=-1
 Logo, m=2, x=5 e y=-1.

 4- Sabe-se que y=10-3x. Determinar o valor de x na equao 7x-3y=18.
<p>
 7x-3y=18
 7x-3`(10-3x`)=18 
 7x-30+9x=18
 16x-30=18
 16x=18+30
 16x=48
 x=4816=3
 
 Logo, temos que x=3.

 Exerccios

 1. Escreva uma equao que represente cada
uma das situaes a seguir.
 a) O nmero x aumentado do nmero y  igual a 61.
 b) O dobro do nmero x diminudo de 7  igual ao nmero y.
 c) A soma do triplo do nmero x com o quntuplo do nmero y  igual a 100. 
 d) O nmero x supera o nmero y em 7 unidades.
 e) A metade do nmero x corresponde ao dobro do nmero y.
<p>
 f) Dois teros do nmero x menos trs quintos do nmero y  igual a 1.

 2. Escreva uma equao que indique o seguinte
fato: a diferena entre a idade de Mariana
e a idade de Gabriela  2 anos. Use x para
representar a idade de Mariana e y para a idade
de Gabriela.

 3. Veja o preo de cada item.
 o Caderno y reais
 o Livro x reais

 Escreva uma equao que represente cada situao.
 a) O livro e o caderno custam juntos 32 reais.
 b) O livro custa 25 reais a mais que o caderno.
 c) O livro custa seis vezes o preo do caderno.
 d) Se eu comprar 2 livros e 5 cadernos, vou gastar 60 reais.

<159>
 4. Representando por x o nmero de carros e
por y o nmero de motos que h em um estacionamento,
escreva uma equao que expresse
cada uma das situaes a seguir.
 a) No estacionamento h, ao todo, 20 veculos.
 b) O nmero de carros  igual ao triplo do nmero de motos.
 c) O nmero de carros supera o nmero de motos em 12.
 d) A metade do nmero de carros  igual a cinco vezes o nmero de motos.
 e) No estacionamento h, ao todo, 42 rodas.

 5. Verifique se cada um dos pares ordenados
a seguir  soluo da equao 9x+y=1.
 a) `(0, 1`) 
 b) `(1, 0`) 
 c) `(1, -8`)
 d) `(-1, 10`)

<p>
 6. Verifique se cada um dos pares ordenados
a seguir  soluo da equao 2x+3y=1.
 a) `(-1, -1`) 
 b) `(-1, 1`)

 7. A seguir esto um quadrado e um tringulo
equiltero, em que x representa a medida
do lado do quadrado, e y representa a
medida do lado do tringulo equiltero.

<F->
     x
  !:::::
  l     _
x l     _ x 
  l     _
  h:::::j
     x

   
y    y
     
------u
   y
<F+>

 a) Que equao representa o fato de as duas figuras
terem permetros iguais?
 b) Se o lado do quadrado mede 15 cm, quanto
mede o lado do tringulo?
 c) Se o lado do tringulo mede 12 cm, quanto
mede o lado do quadrado?

 8. S h um par ordenado de nmeros inteiros
que  soluo, ao mesmo tempo, das equaes
x+y=3 e x-y=1. Qual  esse par?
 9. Verifique se o par ordenado `(3, -2`)  soluo,
ao mesmo tempo, das equaes x+2y=-1 e
x-2y=7.
 10. Apresente trs pares ordenados que sejam
soluo da equao x+2y=9.

 11. Determine uma soluo da equao
4x+y=20, quando:
 a) x=0 
 b) x=-34

<p>
 12. Determine uma soluo da equao
10x-3y=7, na qual:
 a) y=1 
 b) y=133

 13. Sabendo que x=5y+6, determine o valor
de y em cada uma das seguintes equaes:
 a) 2x+y=34
 b) 3x-2y=-21
 c) 5x=y

               ::::::::::::::::::::::::

 32 -- Sistemas de duas equaes do 1 grau com duas incgnitas
<R->

 Explorando

  Em um jogo de voleibol no h empate. Por esse motivo, o regulamento de qualquer torneio
de voleibol manda assinalar 2 pontos para cada partida que a equipe vence e 1 ponto para cada
partida que a equipe perde.
  Se a equipe *L do Bairro* disputou 4 partidas e somou 7 pontos, quantas partidas venceu e
quantas perdeu?

<160>
<R+>
 1. Para resolver esta questo, faa no caderno uma tabela, como a que sugerimos a seguir, e
complete-a considerando todas as possibilidades: de 0 a 4 vitrias e de 0 a 4 derrotas.

<p>
 _`[{tabela "Resultado da equipe *L do bairro* no torneio de voleibol" adaptada em quatro colunas; contendo a seguir_`]
 1: Nmeros de partidas vencidas
 2: Nmero de partidas perdidas
 3: Nmero de partidas disputadas (soma das partidas vencidas com as partidas perdidas)
 4: Soma dos pontos de acordo com as partidas disputadas

<F->
!:::::::::::::::::::: 
l 1 _ 2 _ 3 _ 4 _
r:::::w:::::w:::::w:::::w
l 0  _ ... _ ... _ ... _
r:::::w:::::w:::::w:::::w
l 1  _ ... _ ... _ ... _
r:::::w:::::w:::::w:::::w
l 2  _ ... _ ... _ ... _
r:::::w:::::w:::::w:::::w
l 3  _ ... _ ... _ ... _
r:::::w:::::w:::::w:::::w
l 4  _ ... _ ... _ ... _
h:::::j:::::j:::::j:::::j
<F+>

<p> 
 2. Observando a tabela que voc montou e considerando os dados da situao, qual  o nico
par de nmeros que satisfaz as duas condies apresentadas no problema?
 3. E se nesse torneio a equipe tivesse disputado 30 jogos no total e somado 51 pontos, quantas
vitrias teria conquistado e quantas derrotas teria sofrido?

 Formando um sistema de equaes com duas incgnitas
<R->

  O processo utilizado para resolver o problema do voleibol proposto acima pode ser longo
e trabalhoso quando os nmeros so grandes, como, por exemplo, os do item 3.
  Veja como resolver essa situao de uma forma mais simples e rpida, utilizando equaes
do 1 grau com duas incgnitas.
  Vamos representar por:
<R+>
 o x o nmero de partidas que a equipe venceu;
 o y o nmero de partidas que a equipe perdeu.
<R->
  Assim, traduzimos as duas condies do problema pelas seguintes equaes:

<R+>
 x+y=4
 x -- n.o de partidas que venceu
 y -- n.o de partidas que perdeu
 4 -- total de partidas

 2x+1y=7
 2x -- pontos por vitria
 1y -- pontos por derrota
 7 -- total de pontos
<R->

  Como as duas equaes se referem ao mesmo fato, elas so ligadas pelo
conectivo *e*. Em Matemtica, dizemos que formam um sistema de duas equaes do
1 grau com duas incgnitas, x e y. Indicamos por:

 x+y=4 e 2x+y=7

<p>
  O par ordenado `(3, 1`), que satisfaz as duas equaes ao mesmo tempo,  chamado
soluo do sistema.

<161>
<R+>
 x+y=4 -- 3+1=4 -- (sentena verdadeira)
 2x+y=7 -- 2`(3`)+`(1`)=7 -- (sentena verdadeira)
<R->

  Convm notar que cada uma das equaes tem infinitas solues quando consideradas
isoladamente, mas o sistema de equaes por elas formado tem uma nica soluo.

<R+>
 Como determinar a soluo de um sistema de duas equaes do 1 grau com duas incgnitas
<R->

  J sabemos como formar um sistema de equaes do 1 grau com duas incgnitas.
Sabemos tambm que o sistema apresenta uma nica soluo, quando ela existe.
  Como faremos para descobrir se um par ordenado  soluo de um sistema de equaes
formado com os dados de um problema?
  Acompanhe os exemplos a seguir.

<R+>
 1- Resolver o sistema x+y=4 e 2x+y=7.
  
 Observe o processo de resoluo.

 1 passo: Como a equao mais simples do sistema  a primeira, determinamos
o valor de x nessa equao.

 x+y=4
 x=4-y

 2 passo: Na outra equao, vamos substituir a incgnita x por seu valor `(4-y`).

 2x+y=7
 2`(4-y`)+y=7 
 8-2y+y=7
 8-y=7
 -y=7-8
 -y=-1
 y=1

 3 passo: Substituindo o valor de y em x=4-y, determinamos o valor da incgnita x.

 x=4-y
 x=4-`(1`)
 x=4-1
 x=3

 Logo, a soluo do sistema  dada pelo par ordenado (3, 1).
<R->

  Esse mtodo de resoluo  chamado mtodo da substituio.

<162>
<R+>
 2- Usando o mtodo da substituio, vamos resolver o sistema 2x-5y=6 e
x=4y.

 Da 2 equao, temos: x=4y
 Substituindo x por seu valor `(4y`) na primeira equao, temos:

<p>
 2x-5y=6
 2`(4y`)-5y=6
 8y-5y=6
 3y=6
 y=63
 y=2

 Substituindo o valor de y em x=4y, temos:

 x=4y
 x=4`(2`)
 x=8

 Logo, a soluo do sistema  o par ordenado `(8, 2`).

 3- Vamos resolver o sistema x+y=4 e 2x+y=7 por outro mtodo.

 1 passo: Da primeira equao, vamos determinar o valor de x.

 x+y=4
 x=4-y (1)

 2 passo: Da segunda equao, vamos determinar o valor da mesma incgnita x.

 2x+y=7
 2x=7-y
 x=?7-y*2 (2)

 3 passo: Agora, vamos comparar as igualdades (1) e (2).

 4-y=?7-y*2
 ?2`(4-y`)*2=?1`(7-y`)*2
 2`(4-y`)=1`(7-y`)
 8-2y=7-y
 -2y=7-y-8
 -2y=-y-1
 -2y+y=-1
 -y=-1
 y=1

<163>
 4 passo: Por fim, vamos substituir o valor de y em x=4-y.

 x=4-y
 x=4-`(1`)
 x=4-1
 x=3
<L>
 Logo, a soluo do sistema  o par ordenado `(3, 1`).
<R->

  Esse mtodo de resoluo  chamado de mtodo da comparao.

<R+>
 4- Usando o mtodo da comparao, resolver o sistema x=-2y e 3x+7y=-5.

 Da primeira equao, temos que x=-2y.
 Da segunda equao, vamos determinar o valor de x:

 3x+7y=-5
 3x=-5-7y
 x=?-5-7y*3

 Comparando as duas igualdades, temos:

 -2y=?-5-7y*3
 -6y3=?-5-7y*3
 -6y=-5-7y
 -6y+7y=-5
 y=-5

 Substituindo o valor de y em x=-2y, temos:

 x=-2y
 x=-2`(-5`)
 x=10

 Logo, a soluo do sistema  o par ordenado (10, -5).
<R->

  Resolver um sistema de duas equaes do 1 grau com duas incgnitas, x e y,
significa determinar o nico par ordenado `(x, y`) que  soluo do sistema.

  Voc aprendeu dois mtodos para determinar a soluo `(x, y`) de um sistema de duas
equaes do 1 grau com duas incgnitas: o mtodo da substituio e o mtodo da comparao.
  Veja esta situao:

<R+>
 o Em um stio, temos galinhas e coelhos. So 17 animais e 48 ps. Quantas galinhas e
quantos coelhos h nesse stio?
<R->
<L>
<164>
  Representando o nmero de galinhas
pela letra x e o nmero de coelhos pela letra
y, formamos o sistema:

 x+y=17 -- so 17 animais
 2x+4y=48 -- so 48 ps

  Resolvendo o sistema, temos:

 x+y=17 
 x=17-y 

 2x+4y=48   
 2`(17-y`)+4y=48   
 34-2y+4y=48   
 34+2y=48   
 2y=48-34
 2y=14
 y=142
 y=7 (nmero de coelhos)

 x=17-y
 x=17-(7)
 x=17-7
 x=10 (nmero de galinhas)

  No stio h 10 galinhas e 7 coelhos.

 Exerccios

<R+>
 1. Monte um sistema de duas equaes para
representar as seguintes condies:
 a) Carlos e Celso tm, juntos, 201 figurinhas.
Carlos tem o dobro de figurinhas de Celso.
 b) Com 15 livros, alguns com 
  3 cm de espessura
e outros com 5 cm de espessura, posso formar
uma pilha de livros com 50 cm de altura.

 2. Verifique se o par ordenado `(8, 1`)  a soluo
do sistema x-8y=0 e x-3y=5. Justifique.
 3. O par `(-3, 5`)  soluo do sistema -x+2y=12 e 3x+8y=31.
Essa afirmao  correta? Por qu?

<p>
 4. Usando o mtodo da substituio, resolva
os seguintes sistemas:
 a) x+y=20 e x-3y=-12
 b) x=2y e 2x-5y=3

 5. Usando o mtodo da comparao, resolva
os sistemas:
 a) x+y=10 e x+3y=14
 b) y=6x e 3x-2y=54

 6. Usando qualquer um dos mtodos estudados,
determine a soluo dos seguintes sistemas:
 a) x+y=6 e x=y+2
 b) x=2y e 2x+5y=9
 c) x+y=5 e x-y=1
 d) 2x-y=3 e 3x+2y=8
 e) y=3x+2 e 2x-y=-4
 f) 2x+y=5 e 8x-y=5

 7. Em uma revendedora h x carros e y motos,
totalizando 22 veculos e 74 rodas. Monte um
sistema de duas equaes e determine quantos
carros e quantas motos h nessa revendedora.
<165>
 8. Um sorvete custa x reais, e um doce custa
y reais. A diferena entre o preo de um sorvete
e o preo de um doce  4 reais. Raquel tomou
um sorvete e comprou dois doces, gastando ao
todo 13 reais. Qual  o preo do sorvete?
 9. Uma lapiseira custa o triplo de uma caneta.
Se as duas juntas custam 24 reais, qual  o
preo de cada uma?
 10. Certo dia, um professor de Matemtica
desafiou seus alunos a descobrirem as idades
x e y de seus dois filhos, em anos. Para isso, ele
deu trs informaes:
 o O mais velho tinha x anos.
 o A diferena entre as idades era de 4 anos.
 o A soma das idades era 20 anos.
 Qual a idade de cada filho do professor?
 11. Uma tbua com 2,85 m de comprimento
foi dividida em duas partes. O comprimento
x da primeira parte tem 0,93 m a mais que o
comprimento y da segunda. Qual  o comprimento
de cada parte?
 12. Um livro tem 160 pginas, e eu j li uma
parte dele. O nmero x de pginas que j li corresponde
a 53 do nmero y de pginas que faltam
para eu terminar de ler esse livro. Quantas
pginas eu j li?
 13. Um colgio tem 30 professores. O nmero
x de professores que ensinam outras matrias 
igual a quatro vezes o nmero y de professores
que ensinam Matemtica. Quantos professores
ensinam Matemtica nesse colgio?

<p>
 Desafios!

 1. Troque ideias com o colega e resolvam os desafios na balana.

 _`[{trs figuras adaptadas_`]
 1: balana em equilbrio: prato esquerdo: um cubo e duas esferas; prato direito: oito pesos de 1 kg cada um.
 2: balana em equilbrio: prato esquerdo: uma esfera; prato direito: um cubo e um peso de 
  1 kg.
 3: balana em equilbrio: prato esquerdo: uma esfera; prato direito: vazio.

 Quantos pesos de 1 quilograma devem ser colocados no prato vazio para equilibrar a balana?

 2. Veja as balanas.

 _`[{trs balanas digitais adaptadas_`]
 1: um cubo, uma pirmide e uma esfera: visor -- 23,00 kg.
 2: uma pirmide e uma esfera: visor -- 11,00 kg.
 3: dois cubos e uma esfera: visor -- 28,00 kg.  

 Quantos quilogramas tem:
 a) o cubo? 
 b) a pirmide? 
 c) a esfera?
<R->

<166>
 Brasil Real

 wr Histria e Cultura 

<R+>
 1.  A multido presente no Campo de Bagatelle aclamou
Santos Dumont quando o 14 Bis voou, aproximadamente,
x metros, durante y segundos. Determine a distncia
percorrida pelo 14 Bis e o seu tempo de voo, sabendo que:
x+y=67 e x-2y=46.
 
<p>
 _`[{foto seguida por legenda_`]
 Legenda: Alberto Santos Dumont nasceu em 20 de julho de 1873, no sul do
estado de Minas 
  Gerais. Faleceu no Guaruj (SP), em 23 de julho
de 1932. Depois de estudar no Rio de Janeiro e em Campinas,
foi para Paris, com a idade de 19 anos. L, em 23 de outubro
de 1906, sobrevoou o Campo de Bagatelle, a bordo do 14 Bis.

 Fonte: ~,www.santosdumont.org.~
  br~, Acesso em: 27 nov. 2008.

 2. D. Pedro II foi aclamado segundo imperador do Brasil com
x anos de idade e iniciou um reinado que s terminou com a Repblica,
y anos depois. Determine com que idade D. Pedro II iniciou
seu reinado e quantos anos reinou, resolvendo as equaes:

 x-y=-52 e 10x-y=2

 _`[{foto seguida por legenda_`]
 Legenda: *O imperador D. Pedro II*, de Delfim Maria 
  Martins da Cmara, 1875.
Pedro de Alcntara Joo 
  Carlos Leopoldo Salvador 
  Bibiano Francisco Xavier de Paula Leocdio Miguel Gabriel Rafael Gonzaga de
Bragana e Habsburgo, nome completo de D. Pedro II, o Magnnimo.

 Fonte: ~,www.brasilimperial.org.~
  br~, Acesso em: 27 nov. 2008.

 3. O primeiro livro de Machado de Assis foi impresso no ano
x com o ttulo *Queda que as mulheres tm para os tolos*, mas o
nome de Machado aparecia a como tradutor. *Papis avulsos* 
o terceiro livro do escritor e foi lanado no ano y. Determine o
ano x e o ano y, sabendo que *Papis avulsos* foi lanado 21 anos
depois do seu primeiro livro impresso e a diferena entre o dobro
de x e y  1840.

 _`[{foto seguida por legenda_`]
 Legenda: Joaquim Maria Machado de Assis (21/06/1839 -- 29/09/1908)
 considerado um dos melhores escritores realistas em todo o
mundo. Escreveu obras memorveis, como *Memrias pstumas
de Brs 
  Cubas*, *Dom Casmurro*, *Quincas Borba* e vrios livros de
contos e poesia. Foi um dos criadores da crnica no Brasil.

 Fonte: ~,www.machadodeassis.org.~
  br~, Acesso em: 27 nov. 2008.

<167>
 Tratando a informao

 Trabalhando com dados de uma 
  pesquisa
<R->

  Pesquisa realizada por tcnicos da Fundao de Proteo e Defesa do Consumidor (Procon)
apurou o preo mdio do material escolar em 10 estabelecimentos de So Paulo, no ms de janeiro
de 2007 e de 2008. Observe os dados organizados na tabela a seguir, referentes a 11 itens.

<R+>
 _`[{tabela *Preo mdio do material escolar* adaptada em trs colunas; contedo a seguir_`]
 Legenda:
 1 coluna: Produto
 2 coluna: Preo mdio (em reais) -- janeiro 2007 
 3 coluna: Preo mdio (em reais) -- janeiro 2008 

 Lpis preto n.o 2 (unidade) -- 0,36 -- 0,39
 Lpis de cor (caixa com 12 cores) -- 2,60 -- 2,34
 Caneta hidrogrfica (conjunto com 12 cores) -- 4,80 -- 4,74
 Caneta esferogrfica cristal (unidade) -- 0,58 -- 0,53
<p>
 Borracha branca -- ltex (unidade) -- 0,28 -- 0,28
 Cola basto `(10 g`) -- 2,55 -- 1,99
 Cola branca lavvel `(40 g`) -- 0,95 -- 0,60
 Rgua plstica cristal `(30 cm`) -- 1,03 -- 1,05
 Caderno universitrio/capa dura/espiral/1 matria (96 folhas) -- 8,56 -- 8,19
 Caderno universitrio/capa dura/espiral/10 matrias (200 folhas) -- 14,72 -- 15,42
 Caderno brochura 1/4 de capa dura (96 folhas) -- 2,16 -- 2,41

 Fonte: ~,www.procon.sp.gov.br~, Acesso em: 15 out. 2008.

 Chegou a sua vez!

 a) Qual produto manteve o preo mdio nos dois perodos?
 b) Segundo a tabela, quais produtos apresentaram queda no preo mdio?
 c) Reproduza a tabela no seu caderno e acrescente mais uma coluna a direita para "variao de
preo". Calcule as diferenas entre os preos de cada item da tabela e complete a nova coluna.
 d) Como voc indicou as variaes de preo dos produtos que tiveram queda em seu preo mdio?
 e) Qual produto apresentou a maior queda de preo?
 f) Qual produto apresentou o maior aumento de preo?
<R->

<168> 
 wr Cidadania

<R+>
 Material escolar: qual a melhor hora para compr-lo?
<R->

  Lista na mo,  hora de comprar o material escolar.

<p>
<R+>
 Nem sempre o dinheiro est sobrando...
<R->

  Para evitar gastos desnecessrios, verifique primeiro no material do ano anterior se
h itens que podem ser reutilizados.
  No incio do ano, compre apenas o material que for absolutamente necessrio. Deixe
o restante da compra para maio ou junho, meses em que os preos j esto mais moderados.
Alguns chegam a cair pela metade!

<R+>
 _`[{quatro figuras no adaptadas seguidas por legenda_`]
 Legenda: Compasso, jogo de esquadros, lapiseira so alguns itens que no precisam ser
comprados todos os anos. Por isso, vale a pena cuidar bem deles.
<R->

  Pesquise em mais de uma loja quanto custa cada item de seu material escolar. Leve
em considerao o tipo e a qualidade. s vezes vale a pena comprar um produto um
pouco mais caro mas que dure um bom tempo.
  No caso de cadernos, a preocupao  outra: a cor da capa, o desenho nela impresso
ou os selinhos que vm como brinde acabam dobrando ou at triplicando o preo.
  Na hora de decidir por um produto ou outro, pense bem se vale a pena pagar mais
caro! Assim voc estar contribuindo para a economia na sua casa... e no seu pas!

 Retomando o que aprendeu

  Responda no caderno.
<R+>
 1. Caio ganhou x reais de seu pai, enquanto
Celso ganhou y reais de sua me. A diferena
entre o dobro da quantia que Caio ganhou e o
triplo da quantia que Celso ganhou  10 reais.
Qual  a equao do 1 grau com duas incgnitas
que expressa essa condio?
<p>
 a) 2x-y=10 
 b) x-3y=10 
 c) 2x-3y=10
 d) 3x-2y=20
 e) n.d.a.

 2. Considere as afirmaes:
 I) O par ordenado `(-7, 5`)  uma soluo da
equao 8x+5y=-31.
 II) O par ordenado `(10, -5`)  a soluo do sistema
4x-5y=65 e x=2y.
 III) Sabendo-se que x=y+6, o valor de y na
equao 5x-4y=10  -20.
 IV) Uma das solues da equao 3x+2y=-20
 o par ordenado `(-7, 12`).

 Quantas dessas afirmaes so verdadeiras?
 a) 0 
 b) 1 
 c) 2
 d) 3
 e) 4

<169>
 3. Sendo dado o sistema de equaes
3x-y=4 e x-y=8, a soma x+y vale:
 a) 8 
 b) -6 
 c) 10 
 d) 6
 e) -12

 4. O par ordenado `(x, y`) representa a soluo
do sistema 2x-y=-3 e -x+y=-2. Qual  o valor da expresso
x-y?
 a) 1 
 b) 2 
 c) 4 
 d) 5
 e) 6

 5. So dados dois nmeros x e y tais que
3x+4y=3 e x+6y=8. O valor de x3-y3 :
 a) -358
 b) 358
 c) -198
 d) 198
 e) -318

 6. (Saresp) Na promoo de uma loja, uma
cala e uma camiseta custam juntas R$55,00.
Comprei 3 calas e 2 camisetas, pagando o total
de R$140,00. O preo de cada cala e cada
camiseta, respectivamente, :
 a) R$35,00 e R$20,00.
 b) R$20,00 e R$35,00.
 c) R$25,00 e R$30,00.
 d) R$30,00 e R$25,00.
 e) R$35,00 e R$35,00.

 7. Os gerentes de uma empresa entrevistaram
420 candidatos a determinado emprego e
rejeitaram um nmero de candidatos igual a
5 vezes o nmero de candidatos aceitos. Ento,
o nmero de candidatos aceitos foi:
 a) 84 
 b) 75 
 c) 70 
 d) 65
 e) 60

<p>
 8. Tenho ao todo 36 DVDs. O nmero de DVDs
de msica brasileira  igual ao triplo do nmero
de DVDs de msica estrangeira. Quantos DVDs
de msica brasileira eu tenho?
 a) 18 
 b) 21
 c) 24 
 d) 27
 e) 30
 
 9. (Saresp) Num ptio existem motos e carros
que totalizam 36 veculos. Sendo 126 o
nmero total de rodas, os carros existentes
no ptio so:
 a) 27 
 b) 24 
 c) 21 
 d) 18
 e) 9

 10. So dados dois nmeros x e y. A soma
desses nmeros  igual a
12, enquanto a dife-
<p>
  rena
entre eles  de
32. O menor desses dois
nmeros :
 a) 1 
 b) -1 
 c) 12
 d) -12
 e) -2

 11. Um terreno de 2.600 metros quadrados
foi dividido em dois lotes de reas diferentes. A
diferena entre a rea do lote maior e a rea do
lote menor  de 200 metros quadrados. Qual 
a rea do lote maior, em metros quadrados?
 a) 1.000 
 b) 1.200 
 c) 1.400 
 d) 1.500
 e) 1.600

 12. Com 22 livros de 3 cm e 
  7 cm de espessura
formou-se uma pilha de 106 cm de altura.
Quantos livros de 3 cm de espessura foram colocados
nessa pilha?
 a) 12 
 b) 11 
 c) 10 
 d) 9
 e) 8

 13. O quadrado a seguir  "mgico", pois a
soma dos termos de cada linha, de cada coluna
e de cada diagonal tem o mesmo valor. Nessas
condies, x2-y2 vale:

 !:::::::::::::::::
 l 2   _ 3y  _ 2x _
 r::::::w::::::w:::::w
 l x+5 _ 5   _ y   _
 r::::::w::::::w:::::w
 l 2y  _ x2 _ 8  _
 h::::::j::::::j:::::j

<p>
 a) 1 
 b) -1 
 c) -5 
 d) -9
 e) 13
<R->

               oooooooooooo

<170>
<p>
 Unidade 5

 Estudando as Inequaes

 A Msica e a Matemtica so 
  amigas ntimas de longa data!

  Pitgoras, filsofo e
matemtico grego, viveu
no sculo VI a.C.

<R+>
 _`[{duas xilogravuras de autor desconhecido_`]
<R->

  Essas figuras ilustram
 Pitgoras fazendo
experincias com
instrumentos musicais
da poca.

<R+>
 _`[{ilustrao de uma notao musical_`]
<R->

  A escrita musical no  to antiga
quanto a escrita alfabtica e a escrita
matemtica.
   interessante observar que na
notao musical, para indicar variao
de intensidade, so usados dois sinais
parecidos com os sinais matemticos < (menor que)  
e > (maior que), sendo que o menor que indica crescendo 
e o maior que indica decrescendo.

<R+>
 Fonte: ~,www.cmup.fc.up.pt~, 
  Acesso em: 10 abr. 2007.
<R->

  Pense no significado de: inequao, inegvel, ineficiente, inenarrvel, inelegibilidade, inegocivel.

 Pensou?

  O que essas palavras tm em
comum?

  Procure no dicionrio o significado de cada uma delas.

<171>
 Alguns sinais matemticos

  Voc j conhece muitos dos sinais usados em Matemtica.
  Que tal record-los e ficar sa-
bendo como alguns deles foram inventados?
<L>
 = ( igual a)

  Esse sinal indica que o que est escrito  sua esquerda tem o mesmo valor do que o
que est escrito  sua direita.

 9-2=6+1
 Nove menos dois  igual a seis 
  mais um.

  O uso do smbolo = para indicar a igualdade entre duas quantidades no  muito
antigo.
  O primeiro a fazer uso dele foi o matemtico ingls Robert 
 Recorde (1510-1558).
Cansado de escrever igual a, Recorde decidiu substituir essas duas palavras por um par
de segmentos de reta paralelos e de mesmo comprimento. Mais tarde, justificou a 
<p>
adoo alegando que no poderia haver duas coisas mais iguais.

 = ( diferente de)

  Esse smbolo significa exatamente o oposto do smbolo =, duas expresses, dois
nmeros ou mesmo dois conjuntos separados pelo sinal = no so iguais entre si.

 6=12
 
  Existem ainda os sinais:

 < (menor que) 
 > (maior que)

  Eles esto estreitamente ligados ao smbolo de igual. Como estamos habituados a ler
da esquerda para a direita, o smbolo < representa duas semirretas que partem do mesmo
ponto e vo se distanciando, enquanto o oposto ocorre com o smbolo >.
 
<p>
<F->
                   9<7 <:
:o::o::o::o::o::o::o::o:
 3  4  5  6  7  8  9  10
                 :> 7<9
<F+>
<L>
  O criador desses sinais foi o matemtico e astrnomo ingls Thomas Harriot
(1560-1621).

               ::::::::::::::::::::::::

<172>
 33 -- Desigualdade

  Uma sentena matemtica em que se usa o smbolo = (diferente de) representa uma
desigualdade. Exemplos:

<R+>
 o 2+5=10 -- a soma de dois e cinco  diferente de dez
 o 32=23 -- o quadrado de trs  diferente do cubo de dois
 o 27=72 -- o dobro de sete  diferente do quadrado de sete
<R->

<p>
  Voc pode verificar que:

  Se a=b, poder ocorrer a>b ou a<b.

  Assim:

 2+5<10
 2+5 -- a
 10 -- b

 32>23
 32 -- a
 23 -- b

 27<72
 27 -- a
 72 -- b

  Do mesmo modo que nas igualdades, as desigualdades tambm tm dois membros:

 2+5<10
 2+5 -- 1 membro
 10 -- 2 membro

<p>
 32>23
 32 -- 1 membro
 23 -- 2 membro

 27<72
 27 -- 1 membro
 72 -- 2 membro

 Propriedade das desigualdades

  Para as desigualdades, vale a propriedade transitiva.

  Se a>b e b>c, ento a>c ou se a<b e b<c, ento a<c.

  No valem para as desigualdades do tipo a>b ou a<b as propriedades reflexiva e
simtrica, ou seja:
<R+>
 o Se a>a, ento a<a so sentenas falsas.
 o se a>b, ento b>a ou se a<b, ento b<a so sentenas falsas.
<R->

<p>
 Princpios de equivalncia

  J vimos e aplicamos os princpios de equivalncia de uma igualdade no estudo das
equaes. Veremos agora o que ocorre quando aplicamos os princpios aditivo e multiplicativo
em uma desigualdade.
  Para isso, escolhemos as sentenas 10>3, 1<10 e -4<-1 como exemplos. No
entanto, os princpios continuam vlidos para quaisquer outras desigualdades.

<173>
 Princpio aditivo

<R+>
 o Consideremos a desigualdade 10>3. Vamos adicionar o nmero 2 aos dois membros da
desigualdade:

 10>3
 10+2>3+2
 12>5

<p>
 o Considere, agora, a desigualdade 1<10. Vamos adicionar o nmero -2 aos dois membros:

 1<10
 1+`(-2`)<10+`(-2`)
 -1<+8
<R->

  Observe que as desigualdades tm o mesmo sentido daquelas inicialmente apresentadas.
Esse fato sempre ocorre quando adicionamos aos dois membros um nmero qualquer.

  Quando adicionamos um mesmo nmero aos dois membros de uma desigualdade, obtemos
uma nova desigualdade de mesmo sentido que a primeira.

 Princpio multiplicativo

<R+>
 o Consideremos mais uma vez a desigualdade 10>3.
  Vamos multiplicar os dois mem-
<p>
  bros dessa desigualdade pelo nmero positivo 2:
<R->

 10`(+2`)>3`(+2`)
 20>6

<R+>
 o Considerando agora a desigualdade -4<-1, vamos multiplicar os dois membros pelo
nmero positivo 2:
<R->

 -4`(+2`)<-1`(+2`)
 -8<-2

  Observe que as desigualdades tm o mesmo sentido daquelas inicialmente apresentadas.
Esse fato sempre ocorre quando multiplicamos ambos os membros por um nmero
positivo qualquer.

  Quando multiplicamos os dois membros de uma desigualdade por um mesmo nmero
positivo, obtemos uma nova desigualdade de mesmo sentido que a primeira.

<p>
<R+>
 o Consideremos novamente a desigualdade 10>3. Vamos multiplicar os dois membros
dessa desigualdade pelo nmero negativo -1:
<R->

 10`(-1`)<3`(-1`)
 -10<-3

  Observe que a desigualdade tem o
sentido contrrio da desigualdade
inicialmente apresentada.

<174>
<R+>
 o Considerando novamente a desigualdade -4<-1, vamos multiplicar os dois membros
dessa desigualdade pelo nmero negativo -1:

 -4`(-1`)>-1`(-1`)
 +4>+1
<R->

  Observe que a desigualdade tem o sentido contrrio da desigualdade inicialmente apresentada.
Esse fato sempre ocorre quando multi-
<p>
plicamos ambos os membros por um nmero
negativo.

  Quando multiplicamos os dois membros de uma desigualdade por um mesmo
nmero negativo, obtemos uma 
nova desigualdade com sentido invertido.

 Exerccios

<R+>
 1. Isa  mais pesada que Bel. Quando brincam
na gangorra, 
  Isa precisa dar um impulso
com as pernas para Bel descer. Ento, Bel
resolveu carregar a sua mochila escolar enquanto
brinca na gangorra. O que muda na
brincadeira se Isa tambm levar sua mochila,
que tem as mesmas coisas e  idntica  de
Bel?
 2. Qual  o primeiro membro da desigualdade
52+22<`(5+2`)2?
 3. Sendo x>18 e 18>y, que propriedade da
desigualdade permite concluir que x>y?
 4. Voc pode afirmar que, se a>x, ento x>a?
 5. Sendo x-1<10,  correto escrever
x-1+1<10+1? Em caso afirmativo, qual o
princpio de equivalncia que voc usou?
 6. Dada a desigualdade x+9>20, adicionamos
-9 aos dois membros (princpio aditivo).
Simplificando os dois membros, que nova desigualdade
obtemos?
 7. Dada a desigualdade 3x<12, podemos dizer
que x<4? Em caso afirmativo, qual princpio
aplicamos?
 8. Dada a desigualdade -x<7, pelo princpio
multiplicativo, podemos multiplicar os dois
membros por -1. Qual  a nova desigualdade
obtida?
 9. Dada a desigualdade 4x>20, pelo princpio
multiplicativo, podemos multiplicar os
dois membros da desigualdade por 14. 
<p>
  Qual a nova desigualdade, 
se simplificarmos os dois membros?
<R->

               ::::::::::::::::::::::::

<175>
 34 -- Inequao

 Explorando

  Vagner colocou um anncio no quadro de classificados do supermercado.
  Veja os comentrios de algumas das pessoas interessadas no anncio.

<R+>
 _`[{histria em quatro quadrinhos.
 1 Anncio em destaque com as informaes: vendo timo carro, 12 mil reais, tratar com Vagner.
 2 Ricardo olha o anncio e pensa: "Se Vagner der um desconto de 1.000 reais, poderei comprar o carro, 
e no me sobrar nada."
 3 Ktia v o anncio e diz: "Um tero das minhas economias no atinge a metade do valor pedido por Vagner." Nilton 
complementa: "Com a metade da quantia que tenho posso comprar o carro, e ainda sobra dinheiro!"
 4 Ana ao ver o anncio pensa: "Se eu conseguisse o dobro da quantia que tenho, ainda assim no conseguiria 
comprar o carro."_`]

 a) Qual dos interessados tem a maior quantia?
 b) O que voc pode afirmar sobre a quantia que cada um tem?
 c) Voc poderia afirmar exatamente a quantia de que Ktia dispe? Por qu? E quantos reais
Ricardo tem?
 d) Compare as quantias de Ana e Ktia.
 e) Compare as situaes com as sentenas matemticas a seguir. Depois, relacione cada possvel
comprador com uma das sentenas matemticas.
<p>
 x2>12.000
 w=11.000
 2y<12.000
 m3<6.000
 f) Quem  o nico interessado em uma situao que pode ser traduzida por uma equao?
<R->

<176>
  Considere as seguintes situaes:

<R+>
 1- Um retngulo tem x metros de comprimento e y metros de largura, e um tringulo equiltero
tem 5 m de lado. Que sentena matemtica pode expressar o fato de o permetro
do retngulo ser maior que o permetro do tringulo equiltero?
  Vamos fazer um desenho de acordo com os dados da situao:

<p>
<F->
        x
  !:::::::::::
  l           _
y l           _ y 
  l           _
  h:::::::::::j
        x

     
       
5      5
        
 --------u
     5
<F+>

 Sendo p1 o permetro do retngulo e p2 o permetro do tringulo equiltero, temos:

 p1=2x+2y 
 p2=15

 Como, de acordo com a situao, devemos ter p1>p2, a sentena matemtica
pedida :

 2x+2y>15

 2- Um reservatrio, quando totalmente cheio, pode conter y litros de gua. Se retirarmos
50 litros, a quantidade que restar ser menor que
34 da capacidade total desse reservatrio.
Que sentena matemtica expressa esse fato?
  Vamos fazer um desenho de acordo com os dados da situao: 
  _`[no representada_`]

 De acordo com os dados da situao e do desenho feito, a sentena matemtica
pedida :

 y-50<34y

 Em cada uma das situaes apresentadas obtivemos uma sentena matemtica
que possui um ou mais elementos desconhecidos (incgnitas) e  expressa por uma
desigualdade.
<R->

<177>
  Toda sentena matemtica que contm um ou mais elementos desco-
<p>
nhecidos e representa uma desigualdade  denominada inequao.

  A partir do sculo XVII, as sentenas matemticas passaram a ser escritas
com letras para representar nmeros desconhecidos.
  So as chamadas equaes: sentenas matemticas representadas por
igualdades em que um ou mais elementos so desconhecidos.
  O mesmo tratamento  dado s inequaes, assim chamadas por terem um
ou mais elementos desconhecidos e por serem expressas por desigualdades.

<R+>
  Assim:
 o 2x+14>9  uma inequao com uma incgnita `(x`).
 o y-x<34  uma inequao com duas incgnitas `(x e y`).

  No so inequaes:
 o 52+5>33-2 -- embora seja uma desigualdade, no possui elemento desconhecido
 o 5x+1=46-4x --  uma equao, pois  expressa por uma igualdade com elementos
desconhecidos
<R->

  Tambm para as inequaes vale a nomenclatura:

 2x+14>9
 2x+14 -- 1 membro
 9 -- 2 membro

 y-x<34
 y-x -- 1 membro
 34 -- 2 membro

 Exerccios

<R+>
 1. A sentena matemtica 3x-2<1  uma
inequao? Justifique sua resposta.
 2. Por que a sentena `(2+10`)`(2+4`)<2+102+4 no  uma inequao?

 3. Identifique o 1 membro e o 2 membro em cada inequao:
<p>
 a) 1-4x<x+23
 b) x2-1>x3+16
 
 4. Sendo x o nmero de letras de uma palavra,
verifique se a inequao x<5 pode ser
aplicada  palavra:
 a) matemtica. 
 b) zero. 
 c) lado. 
 d) rea.
 e) quadrado.
 f) par.

 5. Escreva uma inequao para cada item.
 a) O dobro de um nmero x aumentado de 7 
maior que 20.
 b) Dois teros de x  menor que o dobro de y.
 c) A diferena entre o qudruplo de x e 1 
maior que 20.
 d) A soma de um nmero x com seus 45  menor que 1.
 e) A diferena entre o triplo de um nmero x e
a metade desse nmero  maior que 1.

 6. A medida do lado de um quadrado  x metros,
enquanto os lados de um retngulo medem
7 m e 3 m. Escreva uma inequao que
represente o fato de o permetro do quadrado
ser maior que o permetro do retngulo.

<178>
 7. Uma caneta custa x reais, e uma lapiseira
custa y reais. Escreva uma inequao que corresponda
a cada uma das condies a seguir.
 a) A caneta e a lapiseira juntas custam mais de
10 reais.
 b) O preo de trs canetas  menor que o preo
de 5 lapiseiras.

 8. Um terreno retangular tem x metros de
comprimento e 30 metros de largura. Escreva
uma inequao que represente cada uma das
seguintes condies:
 a) O permetro desse terreno tem menos de 500
metros.
<p>
 b) A rea do terreno (produto do comprimento
pela largura) tem mais de 300 metros quadrados.
 
 9. Em um recipiente cheio cabem x litros. Se
retirarmos 3 litros desse recipiente, sobrar menos
da metade da capacidade do recipiente. Escreva
uma inequao que represente esse fato.
<R->

               xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxo

 Fim da Quarta Parte